Question

直線l過雙曲線M虛軸的一個端點，與該雙曲線相切，直線l與雙曲線M的兩條漸近線所圍成的三角形面積為1，則雙曲線M焦距的最小值為（　　）

• A、

  2

• B、2

  2

• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：如圖所示，設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）．設直線l過雙曲線M虛軸的一個端點B（0，b），斜率k＜0．與雙曲線的漸近線分別相交于A，D．聯(lián)立

y=kx+b y= b a x

，解得D．聯(lián)立

y=kx+b y=- b a x

，解得A．可得|AD|=

2ab2 1+k2

|b2-a2k2|

．點O到直線l的距離d=

b

k2+1

．由于S_△OAD=

1

2

d•|AD|=1，可得ab³=|b²-a²k²|．（*）聯(lián)立

y=kx+b x2 a2 - y2 b2 =1

，化為（b²-a²k²）x²-2a²bkx-2a²b²=0，由于直線l與雙曲線相切，可得△=0，2b²=a²k²．代入（*）可得：ab=1．由于c=

a2+b2

，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）．
設直線l過雙曲線M虛軸的一個端點B（0，b），斜率k＜0．
與雙曲線的漸近線分別相交于A，D．
聯(lián)立

y=kx+b y= b a x

，解得D(

ab

b-ak

，

b2

b-ak

)．
聯(lián)立

y=kx+b y=- b a x

，解得A(

-ab

b+ak

，

b2

b+ak

)．
∴|AD|=

( ab b-ak + ab b+ak )2+( b2 b-ak - b2 b+ak )2

=

2ab2 1+k2

|b2-a2k2|

．
∴點O到直線l的距離d=

b

k2+1

．
∵S_△OAD=

1

2

d•|AD|=1，
∴ab³=|b²-a²k²|．（*）
聯(lián)立

y=kx+b x2 a2 - y2 b2 =1

，化為（b²-a²k²）x²-2a²bkx-2a²b²=0，
∵直線l與雙曲線相切，∴△=0，∴4a⁴b²k²+8a²b²（b²-a²k²）=0，
化為2b²=a²k²．
代入（*）可得：ab=1．
∴c=

a2+b2

≥

2ab

=

2

，當且僅當a=b=1取等號．
∴2c≥2

2

．
∴雙曲線M焦距的最小值為2

2

．
故選：B．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線相交、直線與雙曲線相切、基本不等式的性質、兩點之間的距離公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．