Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣ 處取得極值．
（1）確定a的值；
（2）討論函數g（x）=f（x）ex的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：對f（x）求導得f′（x）=3ax2+2x．

∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣ 處取得極值，

∴f′（﹣ ）=0，

∴3a +2（﹣ ）=0，

∴a= ；

（2）解：由（1）得g（x）=（ x3+x2）ex，

∴g′（x）=（ x2+2x）ex+（ x3+x2）ex= x（x+1）（x+4）ex，

令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，

當x＜﹣4時，g′（x）＜0，故g（x）為減函數；

當﹣4＜x＜﹣1時，g′（x）＞0，故g（x）為增函數；

當﹣1＜x＜0時，g′（x）＜0，故g（x）為減函數；

當x＞0時，g′（x）＞0，故g（x）為增函數；

綜上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）內為減函數，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）為增函數

【解析】（1）求導數，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣ 處取得極值，可得f′（﹣ ）=0，即可確定a的值；（2）由（1）得g（x）=（ x3+x2）ex ， 利用導數的正負可得g（x）的單調性．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．