Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，動點M在線段AC₁上，動點N在線段BC上，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），求線段MN長度最小值，以及此時點M，N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,空間中的點的坐標(biāo)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：線段MN長度最小時，MN是BC和AC₁的公垂直線段，由此利用向量法能求出線段MN長度最小值，以及此時點M，N的坐標(biāo)．

解答： 解：由已知得B（1，0，0），C（1，1，0），
A（0，0，0），C₁（1，1，1），

BC

=（0，1，0），

AC1

=（1，1，1），
設(shè)

BN

=m

BC

，

AM

=n

AC1

，
則

BN

=（0，m，0），N（1，m，0），

AM

=（n，n，n），M（n，n，n），
∴

NM

=(n-1，n-m，n)，
∵線段MN長度最小，∴MN⊥BC，且MN⊥AC₁，
∴

MN • BC =n-m=0 MN • AC1 =n-1+n-m+n=0

，
∴m=n=

1

2

，
∴線段MN長度最小值為|

NM

|_min=

(- 1 2 )2+02+( 1 2 )2

=

2

2

，
此時M（

1

2

，

1

2

，

1

2

），N（1，

1

2

，0）．

點評：本題考查線段MN長度最小值以及此時點M，N的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．