【題目】

已知橢圓的離心率為,且點在橢圓上.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)若斜率為k的直線交橢圓A,B兩點,求△OAB面積的最大值.

【答案】Ⅰ);(Ⅱ)4.

【解析】試題分析:根據(jù)題意列出關于 、的方程組,結(jié)合性質(zhì) , ,求出 、 、,即可得結(jié)果;(直線l的方程為ykxm,A(x1,y1)B(x2,y2),直線與曲線聯(lián)立,以OAB的面積S|m||x1x2|根據(jù)韋達定理,弦長公式將三角形面積用 表示,換元求最值即可得結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ)由已知得, , 解得, ,

橢圓的方程是.

(Ⅱ)設直線l的方程為ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2).

ykxm代入橢圓的方程,可得(14k2)x28kmx4m2160

Δ0,可得m2416k2,①

則有x1x2=-x1x2.

所以|x1x2|.

因為直線ykxmy軸交點的坐標為(0,m),

所以OAB的面積S|m||x1x2|

t,由①可知0t4,

因此S22,故S≤4,

當且僅當t2時取得最大值4.

所以OAB面積的最大值為4.

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