Question

已知函數(shù)f(x)=

a

x

-x+b(x≠0)．，其中a，b∈R
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程列方程f′（2）=3，再由切點(diǎn)在切線上和曲線上列方程，分別求出a和b；
（2）由解析式求出函數(shù)的定義域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式對(duì)a進(jìn)行分類：a≥0和a＜0，分別求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，再表示成區(qū)間的形式．

解答：解：（1）由題意得f′(x)=-

a

x2

-1=-

x2+a

x2

，
∵在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，
∴f′（2）=-

4+a

4

=3，且f（2）=7=

a

2

-2+b，
解得，a=-16，b=17，
故函數(shù)f（x）的解析式：f(x)=-

16

x

-x+17(x≠0)，
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
且f′(x)=-

a

x2

-1=-

x2+a

x2

，
當(dāng)a≥0時(shí)，恒有f'（x）≤0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，解得x=±

a

，
當(dāng)x＞

a

或x＜-

a

時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)-

a

＜x＜

a

且x≠0時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-

a

），（

a

，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（-

a

，0），（0，

a

），
綜上得，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)的f（x）的減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，減區(qū)間為（-∞，-

a

），（

a

，+∞），增區(qū)間為（-

a

，0），0，

a

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切點(diǎn)在曲線上和切線上的應(yīng)用等，考查了分類討論思想．