Question

雙曲線x²-y²=2的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）在其右支上，且滿足||=||，•=0，則x₂₀₁₀=    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意，知e=，|P_nF₁|=|+|=+，|P_n+1F₂|=|-|=-，x_n+1=x_n+2，又P₁F₂⊥F₁F₂，求出x₁，由此根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式能求出x₂₀₁₀．
解答：解：依題意，雙曲線x²-y²=2，
∴a=b=，c=2，
它的離心率：e=，準(zhǔn)線方程為：x=±1．焦點(diǎn)坐標(biāo)（±2，0）．
設(shè)點(diǎn)P_n到左準(zhǔn)線的距離為d，
根據(jù)雙曲線的第二定義得：
||=d×e，
∴||=|+|=+，
同理：||=|-|=-，
因?yàn)閨|=||，
所以x_n+1=x_n+2，數(shù)列{x_n}構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，
又•=0，∴P₁F₂⊥F₁F₂，
∴x₁=c=2，
∴x_n=2n，
∴x₂₀₁₀=4020．
故答案為4020．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，以及等差數(shù)列的判斷，屬于圓錐曲線與數(shù)列的綜合題．