Question

不等式sin2θ-（2

2

+

2

a）sin（θ+

π

4

）-

2 2

cos(θ- π 4 )

＞-3-2a對θ∈[0，

π

2

]恒成立．對于上面的不等式小川同學(xué)設(shè)x=sinθ+cosθ，則有sin2θ=x²-1，請照這一思路將不等式左邊化為關(guān)于x的函數(shù)y=h（x）
（1）求函數(shù)y=h（x）的解析式與定義域
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，根據(jù)x=sinθ+cosθ，得到x=

2

sin（x+

π

4

），然后，確定函數(shù)的定義域，再利用sin（x+

π

4

）=sin（x-

π

4

）代人化簡，得到函數(shù)y=h（x）的解析式．
（2）分離參數(shù)a然后，借助于基本不等式進(jìn)行求解范圍問題．

解答： 解：（1）∵x=sinθ+cosθ，
∴x=

2

sin（θ+

π

4

），
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴θ+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴x∈[1，

2

]，
函數(shù)的定義域?yàn)閇1，

2

]；
∵sin2θ=x²-1，x=

2

sin（θ+

π

4

），
sin（θ+

π

4

）=cos（θ-

π

4

）=

2

2

x，
∴函數(shù)y=h（x）=x2-1-(2

2

+

2

a)

2

2

x-

2 2

2 2 x

=x2-(a+2)x-

4

x

-1，
∴y=h（x）=x2-(a+2)x-

4

x

-1，
（2）∵h(yuǎn)（x）=x2-(a+2)x-

4

x

-1＞-3-2a，
即x2-(a+2)x-

4

x

-1+3+2a＞0，
∴（2-x）a＞2x-x²+

4-2x

x

=x(x-2)+2×

2-x

x

，
∵x∈[1，

2

]，
∴2-x＞0，
∴a＞x+

2

x

，
令函數(shù)f（x）=x+

2

x

，
則函數(shù)f（x）在x∈[1，

2

] 上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x∈[1，

2

] 上的最大值為f（1）=3．
即知a的取值范圍為（3，+∞）．

點(diǎn)評：本題綜合考查函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，分離參數(shù)法在求解問題中的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．