Question

若斜率為k的兩條平行直線l，m與曲線C相切并至少有兩個切點，且曲線C上的所有點都在l，m之間（也可在直線l，m上），則把l，m稱為曲線C的“夾線”，把l，m間的距離稱為曲線C在“k方向上的寬度”，記為d（k）．已知函數(shù)f（x）=x+3cosx．
（Ⅰ）若點P橫坐標為0，求f（x）圖象在點P處的切線方程；
（Ⅱ）試判斷y=x+3和y=x-3是否是f（x）的“夾線”，若是，求d（1）；若不是，請說明理由；
（Ⅲ）求證：函數(shù)F（x）=-

1

3

x³+x的圖象不存在“夾線”．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，得到f′（0），再求出f（0）的值，然后由直線方程的點斜式得f（x）圖象在點P處的切線方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=x+3是f（x）圖象在點P處的切線，再由導函數(shù)的值等于1可求得另外至少一個切點（2π，2π+3），同理得到滿足斜率為-1的曲線的切點至少有兩個（π，π-3），（3π，3π-3），然后利用作差法結合三角函數(shù)的值域說明曲線f（x）夾在兩直線y=x+3和y=x-3之間．由兩平行線間的距離公式求得d（1）；
（Ⅲ）設出F（x）=-

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3

x³+x上的任意一點，求出曲線在該點處的切線方程，和y=-

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3

x³+x聯(lián)立后解得兩交點坐標，再由曲線在求得的兩點出的導數(shù)值相等得到切點唯一，不符合曲線存在夾線的條件，說明函數(shù)F（x）=-

1

3

x³+x的圖象不存在“夾線”．

解答： （Ⅰ）解：由f（x）=x+3cosx，得
f′（x）=1-3sinx，
∴k=f′（0）=1-3sin0=1，
又f（0）=0+3cos0=3，
∴P點坐標為p（0，3），
∴f（x）圖象在點P處的切線方程是y-3=x-0，即y=x+3；
（Ⅱ）解：y=x+3和y=x-3是f（x）的“夾線”．
由（Ⅰ）知y=x+3是f（x）圖象在點P處的切線，切點為（0，3）．
∵f′（x）=1-3sinx=1，
∴sinx=0．
當x=2π時，y=2π+3，f（2π）=2π+3cos2π=2π+3，
∴（2π，2π+3）是函數(shù)y=x+3和f（x）=x+3cosx圖象的另一個切點．
y=x+3和f（x）=x+3cosx的圖象相切且至少有兩個切點．
同理，（π，π-3），（3π，3π-3）是y=x-3和f（x）=x+3cosx圖象的兩個切點．
因此，兩條平行直線與曲線相切并至少有兩個切點．
令g（x）=x+3，h（x）=x-3．
對任意x∈R，g（x）-f（x）=（x+3）-（x+3cosx）=3-3cosx≥0，
∴g（x）≥f（x）．
h（x）-f（x）=（x-3）-（x+3cosx）=-3-3cosx≤0，
∴h（x）≤f（x）．
y=x+3和y=x-3是f（x）的“夾線”
∴d(1)=

|3-(-3)|

12+12

=3

2

；
（Ⅲ）證明：設F(x)=-

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3

x3+x的圖象上任一點為P（x₀，y₀），
∴F′（x）=-x²+1，k=F′(x0)=-x02+1，
又F(x0)=-

1

3

x03+x0，
∴F（x）在點P（x₀，y₀）處的切線方程為y-(-

1

3

x03+x0)=(-x02+1)(x-x0)，
即y=(-x02+1)x+

2

3

x03．
聯(lián)立

y=(-x02+1)x+ 2 3 x03 y=- 1 3 x3+x

，得-

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3

x3+x=(-x02+1)x+

2

3

x03，
∴(x-x0)2(x+2x0)=0，解得：x=x₀或x=-2x₀．
∴k=F′(x0)=-x02+1，
k′=F′(-2x0)=-(-2x0)2+1=-4x02+1，
∴k=k′時，當且僅當x₀=0時取到，此時切線與F(x)=-

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3

x3+x的圖象只有一個交點．
∴F(x)=-

1

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x3+x的圖象和它在任一點處的切線至多只有一個切點．
∴函數(shù)F(x)=-

1

3

x3+x的圖象不存在“夾線”．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了數(shù)學轉化思想方法，解答此題的關鍵在于對新定義的理解，是壓軸題．