Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為左、右頂點(diǎn)，橢圓E上的點(diǎn)到F的最短距離為1
（l）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)t∈R且t≠0，過點(diǎn)M（4，t）的直線MA，MB與橢圓E分別交于點(diǎn)P，Q．求證：點(diǎn)P，F(xiàn)，Q共線．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件知

c

a

=

1

2

，所以設(shè)E的方程設(shè)為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，再由當(dāng)x₀=2c時(shí)，|HF|_min=c=1，能求出橢圓E的方程．
（2）由A（-2，0），B（2，0），過點(diǎn)M（4，t）的直線MA，MB與橢圓E分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)MA的方程為y=

t

6

(x+2)，聯(lián)立方程組

y= t 6 (x+2) x2 4 + y2 3 =1

，得(27+t2)x2+4t

2

x+(4t2-108)=0，由此能證明t∈R，且t≠0，點(diǎn)P、F、Q三點(diǎn)共線．

解答： （1）解：由橢圓E的離心率為

1

2

，得

c

a

=

1

2

，即a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²，
∴E的方程設(shè)為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)H（x₀，y₀），（-2c≤x₀≤2c），
∵F（c，0），∴|HF|=

(x0-c)2+y02

，①
又由

x02

4c2

+

y02

3c2

=1，即y02=3c2-

3

4

x02，②
②代入①整理，得|HF|=

1 4 (x0-4c)2

，（-2c≤x₀≤2c），
∴當(dāng)x₀=2c時(shí)，|HF|_min=c=1
∴所求橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：由（1）知A（-2，0），B（2，0），
∵過點(diǎn)M（4，t）的直線MA，MB與橢圓E分別交于點(diǎn)P，Q，
∴kMA=

t

6

，kMB=

t

2

，
∴MA的方程為y=

t

6

(x+2)，
聯(lián)立方程組

y= t 6 (x+2) x2 4 + y2 3 =1

，得(27+t2)x2+4t

2

x+(4t2-108)=0，
∴x_A+x_P=

-4t2

27+t2

，
∴xP=

-4t2

27+t2

-xA=

54-2t2

27+t2

，
代入MA的方程，得yP=

t

6

(xP+2)=

18t

27+t2

，
∴點(diǎn)P（

54-2t2

27+t2

，

18t

27+t2

），
同理，求得點(diǎn)Q（

2t2-6

3+t2

，

-6t

3+t2

），
∴

PF

=(

3t2-27

27+t2

，

-18t

27+t2

)，

FQ

=(

t2-9

3+t2

，

-6t

3+t2

)，
即

PF

=

27+t2

3(3+t2)

FQ

，
∴t∈R，且t≠0，點(diǎn)P、F、Q三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查代數(shù)法求方程的解，考查數(shù)形結(jié)合、運(yùn)算求解、轉(zhuǎn)化與化歸以及分析與解決問題的能力．