Question

已知f（x）=lnx+

a

x

（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+2x，在[

1

2

，+∞）單調(diào)遞增，求a的范圍；
（Ⅱ）當(dāng)n∈N^*時(shí)，試比較（

n

n+1

）^n（n+1）與（

1

e

）ⁿ⁺²的大小，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，來求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)在其定義域內(nèi)考慮；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）在區(qū)間[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)函數(shù)g′（x）≥0恒成立；
（Ⅲ）構(gòu)造新的函數(shù)h（x）=lnx+

2

x

+x，考慮其在定義域內(nèi)的最小值，即h（x）≥h（x）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=lnx+

1

x

，定義域?yàn)椋?，+∞），
則f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，0＜x＜1，當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，x＞1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）∵g(x)=lnx+

a

x

+2x，∴g′(x)=

1

x

-

a

x2

+2=

2x2+x-a

x2

≥0在[

1

2

，+∞)上恒成立，
令φ（x）=2x²+x-a=2(x+

1

4

)2-

1

8

-a，φ（x）在[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）≥φ(

1

2

)=2×(

1

2

)2+

1

2

-a≥0，∴a≤1．
（Ⅲ）令h（x）=lnx+

2

x

+x，則h′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

，（x＞0），
∴h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（1）=3∴h(x)=lnx+

2

x

+x≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取最小值，
∵0＜

n

n+1

＜1，∴h(

n

n+1

)=ln

n

n+1

+

2(n+1)

n

+

n

n+1

＞3∴ln

n

n+1

+

2

n

-

1

n+1

＞0，
∴ln

n

n+1

+

n+2

n(n+1)

＞0
∴n(n+1)ln

n

n+1

＞-(n+2)，
∴(

n

n+1

)n(n+1)＞(

1

e

)n+2．

點(diǎn)評(píng)：這是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題，求單調(diào)區(qū)間、解決恒成立問題、證明不等式；利用最值解決恒成立問題，運(yùn)用了構(gòu)造函數(shù)法證明不等式．這些都是高考的熱點(diǎn)，本題難度適中．