Question

（1）證明：當(dāng)x∈[0，1]時，1-

1

2

x²≤cosx≤1-

1

4

x²；
（2）證明：當(dāng)a≤2時，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4≤0對x∈[0，1]恒成立．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分別構(gòu)造函數(shù)證明左、右不等式，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；
（2）利用cosx≤1-

1

4

x²，即可證明結(jié)論成立．

解答： 證明：（1）f(x)=cosx-1+

1

4

x2，則g(x)=f′(x)=-sinx+

1

2

x，g′(x)=-cosx+

1

2

，
∵0≤x≤1＜

π

3

，∴

1

2

＜cosx≤1，∴g′(x)=-cosx+

1

2

＜0，恒成立
∴g(x)=f′(x)=-sinx+

1

2

x，在[0，1]上遞減，
∵0≤x≤1，∴g(x)=-sinx+

1

2

x≤g(0)=0，
∴f(x)=cosx-1+

1

4

x2，在[0，1]上遞減，
∴f（x）≤f（0）=0
∴x∈[0，1]時，cosx≤1-

1

4

x2；（4分）
記F(x)=cosx-1+

1

2

x2，則G（x）=F'（x）=-sinx+x，G'（x）=-cosx+1，
∴G'（x）=-cosx+1≥0恒成立，
∴G（x）=F'（x）=-sinx+x，在[0，1]上遞增，
∵0≤x≤1∴∴G（x）=-sinx+x≥G（0）=0，
∴F(x)=cosx-1+

1

2

x2，在[0，1]上遞增，
∴F（x）≥F（0）=0
∴x∈[0，1]時，cosx≥1-

1

2

x2；
∴x∈[0，1]時，1-

1

2

x2≤cosx≤1-

1

4

x2；（7分）
（2）x∈[0，1]時，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4≤ax+x²+

x3

2

+2（x+2）（1-

x2

4

）-4≤（a+2）x，
∴當(dāng)a≤2時，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4≤0對x∈[0，1]恒成立．（14分）

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查不等式的證明，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．