Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

2

，∠ACB=90°，AA₁=2

3

，D是A₁B₁中點(diǎn)．
（1）求證：C₁D⊥AB₁；
（2）若點(diǎn)F是BB₁上的動(dòng)點(diǎn)，求FB₁的長(zhǎng)度，使AB₁⊥面C₁DF．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）以C₁A₁為X軸，C₁B₁為Y軸，C₁C為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，求得

AB1

，

C1D

的坐標(biāo)，由

AB1

•

C1D

=0即可證明C₁D⊥AB₁；
（2）由（1）得AB₁⊥C₁D，只要AB₁⊥DF時(shí)，就會(huì)有AB₁⊥平面C₁DF，求出

DF

的坐標(biāo)，由

AB1

•

DF

=2-2

3

z=0，即可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得FB₁的長(zhǎng)度，使AB₁⊥面C₁DF．

解答： 證明：（1）以C₁A₁為X軸，C₁B₁為Y軸，C₁C為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∴各點(diǎn)坐標(biāo)為：C₁（0，0，0）C（0，0，2

3

）B₁（0，

2

，0）A₁（

2

，0，0）D（

2

2

，

2

2

，0），
A（

2

，0，2

3

）B（0，

2

，2

3

）F（0，

2

，z），
∴

AB1

=（-

2

，

2

，-2

3

），

C1D

=（

2

2

，

2

2

，0），
∴

AB1

•

C1D

=0，
∴C₁D⊥AB₁；
（2）∵

AB1

=（-

2

，

2

，-2

3

），
∴AB₁•C₁D=0，
∴AB₁⊥C₁D，
∴只要AB₁⊥DF時(shí)，就會(huì)有AB₁⊥平面C₁DF，
又∵

DF

=（-

2

2

，

2

2

，z），
∴

AB1

•

DF

=2-2

3

z=0，
∴當(dāng)z=

3

3

時(shí)，AB₁⊥DF，
即：F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

2

，

3

3

）時(shí)，會(huì)使得AB₁⊥平面C₁DF，
∴可解得：|FB₁|=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查了空間向量及其應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．