Question

已知直線m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0．
（1）求證：直線m過定點M；
（2）求過M點且傾斜角是直線2x-y+1=0的傾斜角的2倍的直線方程；
（3）過點M作直線n，與兩負半軸圍成△AOB，求△AOB面積的最小值及取得最小時時直線n的方程．

Answer 1

考點：恒過定點的直線,直線的傾斜角

專題：直線與圓

分析：（1）按照字母a集項，利用直線系方程，解方程組求出定點，說明直線m過定點M；
（2）設(shè)直線2x-y+1=0的傾斜角為α，則tanα=2，易求tan2α=-

4

3

，利用直線的點斜式可得所求直線的方程；
（3）直線n的斜率存在，設(shè)為k（k＜0），則過點M（-1，-2）的直線n的方程為：y+2=k（x+1），分別令x=0與y=0可求得OA與OB的長度，利用基本不等式可求得該直線的斜率k的值，從而可得直線n的方程．

解答： 解：（1）方程m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0可化為a（x-2y-3）+（2x+y+4）=0，
要使a有無窮多個解，必須有

x-2y-3=0 2x+y+4=0

，得

x=-1 y=-2

．
無論a取何值，（-1，-2）都滿足方程，故直線m過定點M（-1，-2）．
（2）設(shè)直線2x-y+1=0的傾斜角為α，則tanα=2，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×2

1-22

=-

4

3

，
∴過M點且傾斜角是直線2x-y+1=0的傾斜角的2倍的直線方程為：y-（-2）=-

4

3

[x-（-1）]，
整理得：4x+3y+10=0．
（3）依題意，直線n的斜率存在，設(shè)為k（k＜0），則過點M（-1，-2）的直線n的方程為：y+2=k（x+1），
令y=0，則x=

2

k

-1，OA長度為1-

2

k

；
令x=0，y=k-2，OB長度為2-k；
三角形面積S=

1

2

×（1-

2

k

）（2-k）
=

1

2

（2-k-

4

k

+2）≥

1

2

×（4+2

(-k)•(- 4 k )

）=4，當且僅當k=-2時取“=”，
故直線n的方程為：2x+y+4=0．

點評：本題考查直線的方程，著重考查過定點的直線，考查直線的點斜式方程的應(yīng)用，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．