Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+x2

．
（1）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，而在區(qū)間（1，+∞）是減函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）的最大值和最上值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先判斷函數(shù)的定義域為R，然后利用奇偶函數(shù)的定義，證明f（-x）=-f（x）．
（2）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷，也可以利用定義直接證明；
（3）借助基本不等式進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）由已知，f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
并且f（-x）=-

x

(-x)2+1

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）因函數(shù)f（x）=

x

1+x2

．
所以f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（3）f（x）=

x

1+x2

=

1

1 x +x

，
當(dāng)x＞0時，f（x）=

x

1+x2

=

1

1 x +x

∈(0，

1

2

]，
當(dāng)x≤0時，f（x）=

x

1+x2

∈[-

1

2

，0]，
所以函數(shù)f（x）的最小值是-

1

2

，最大值是

1

2

．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的證明；單調(diào)性的證明，最值的求法，在明確定義域的前提下，再利用定義證明．