Question

設函數f（x）=x³-4x+a（a＞0），若f（x）的三個零點分別為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則（　�。�

• A、x₁＞-2
• B、x₁²+x₂²＜

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• C、x₃＞2
• D、x₂²+x₃²＜

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  3

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：利用導數研究函數的單調性，利用導數求函數的極值，再根據f （x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各個零點所在的區(qū)間，從而得出結論．

解答： 解：∵函數f （x）=x³-4x+a，a＞0，∴f′（x）=3x²-4．
令f′（x）=0，得 x=±

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3

．
當x＜-

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3

時，f′（x）＞0；在（-

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3

，

2 3

3

）上，f′（x）＜0；
在（

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，+∞）上，f′（x）＞0．
故函數在（-∞，-

2 3

3

）上是增函數，在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上是減函數，在（

2 3

3

，+∞）上是增函數．
故f（-

2 3

3

）是極大值，f（

2 3

3

）是極小值．
再由f （x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，f（0）=a＞0，
可得 x₁＜-

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3

＜0＜x₂＜

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3

＜x₃，又f（2）=a＞0，∴x₃＜2，
∴x22+x32＜(

2 3

3

)2+2²=

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，
故選：D．

點評：本題主要考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，利用導數研究函數的單調性，利用導數求函數的極值，屬于中檔題．