Question

已知A，B是拋物線W：y=x²上的兩個點，點A的坐標為（1，1），直線AB的斜率為k（k＞0）．設(shè)拋物線W的焦點在直線AB的下方．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)C為W上一點，且AB⊥AC，過B，C兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為D．判斷四邊形ABDC是否為梯形，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：

分析：（Ⅰ）求出拋物線y=x²的焦點，得直線AB的方程為y-1=k（x-1），求出直線AB與y軸相交于點（0，1-k），利用拋物線W的焦點在直線AB的下方，即可求k的取值范圍；
（Ⅱ）利用反證法，假設(shè)四邊形ABDC為梯形，求出B、C處的切線斜率，分類討論，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：拋物線y=x²的焦點為（0，

1

4

）．…（1分）
由題意，得直線AB的方程為y-1=k（x-1），…（2分）
令x=0，得y=1-k，即直線AB與y軸相交于點（0，1-k）．…（3分）
∵拋物線W的焦點在直線AB的下方，
∴1-k＞

1

4

，
解得k＜

3

4

．…（5分）
∵k＞0，
∴0＜k＜

3

4

．…（5分）
（Ⅱ）解：結(jié)論：四邊形ABDC不可能為梯形．…（6分）
理由如下：
假設(shè)四邊形ABDC為梯形．…（7分）
由題意，設(shè)B（x₁，x₁²），C（x₂，x₂²），D（x₃，y₃），
聯(lián)立方程

y-1=k(x-1) y=x2

消去y，得x²-kx+k-1=0，
由韋達定理，得1+x₁=k，∴x₁=k-1．…（8分）
同理，得x₂=-

1

k

-1．…（9分）
對函數(shù)y=x²求導(dǎo)，得y′=2x，
∴拋物線y=x²在點B處的切線BD的斜率為2x₁=2k-2，…（10分）
拋物線y=x²在點C處的切線CD的斜率為2x₂=-

2

k

-2．…（11分）
由四邊形ABDC為梯形，得AB∥CD或AC∥BD．
若AB∥CD，則k=-

2

k

-2，即k²+2k+2=0，
∵方程k²+2k+2=0無解，∴AB與CD不平行．…（12分）
若AC∥BD，則-

1

k

=2k-2，即2k²-2k+1=0，
∵方程2k²-2k+1=0無解，∴AC與BD不平行．…（13分）
∴四邊形ABDC不是梯形，與假設(shè)矛盾．
同理AD∥BC也不成立，
因此四邊形ABDC不可能為梯形．…（14分）

點評：本題考查拋物線的定義與方程，考查拋物線的切線方程，考查學(xué)生的計算能力，考查反證法，屬于中檔題．