Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線l：x-y+

2

=0與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=2，證明：直線AB過定點（-1，-1）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得到e=

2

2

，b=

2

2

=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當直線AB的斜率不存在時，設A（x₀，y₀），則B（x₀，-y₀），由已知條件推導出x₀=-1；當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y=kx+b（b≠1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 y=kx+b

，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，利用韋達定理結合已知條件能證明直線AB過定點（-1，-1）．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)，
∴e=

2

2

，
∵直線l：x-y+

2

=0與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，
∴b=

2

2

=1…..（2分）
∴

c

a

=

2

2

，a2-c2=1，解得a=

2

…（4分）
∴橢圓C的方程為

x

2

2+y2=1…（5分）
（2）證明：當直線AB的斜率不存在時，
設A（x₀，y₀），則B（x₀，-y₀），
由k₁+k₂=2得

y0-1

x 0

+

-y0-1

x 0

=2，解得x₀=-1…．（7分）
當直線AB的斜率存在時，
設AB的方程為y=kx+b（b≠1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x2 2 +y2=1 y=kx+b

，整理，得：（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴x1+x2=

-4kb

1+2k2

，x1•x2=

2b2-2

1+2k2

…．（9分）
∵k₁+k₂=2，∴

y1-1

x1

+

y2-2

x2

=2，
∴

(kx2+b-1)+(kx1+b-1)x2

x1x2

=2，
即(2-2k)x2x1=(b-1)(x2+x1)⇒(2-2k)(2b2-2)=(b-1)(-4kb)
由b≠1，（1-k）（b+1）=-kb，得k=b+1，…..（11分）
即y=kx+b=（b+1）x+b，∴b（x+1）=y-x
∴直線AB過定點（-1，-1）．…..（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意分類討論思想、函數(shù)方程思想的合理運用．