Question

8．設(shè)點P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$與圓x²+y²=a²+b²的一個交點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左、右焦點，且|$\overrightarrow{P{F_1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F_2}}$|，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 設(shè)點P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點，可得點P到原點的距離，∠F₁PF₂=90°，再根據(jù)|$\overrightarrow{P{F_1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F_2}}$|，借助于雙曲線的定義，利用勾股定理，可求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)點P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點
∴點P到原點的距離|PO|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=c，∠F₁PF₂=90°，
∵|$\overrightarrow{P{F_1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F_2}}$|，
∴|PF₁|-|PF₂|=（$\sqrt{3}$-1）|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=（$\sqrt{3}$+3）a，|PF₂|=（$\sqrt{3}$+1）a，
∴[（$\sqrt{3}$+3）a]²+[（$\sqrt{3}$+1）a]²=4c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點評 本題重點考查圓與雙曲線的性質(zhì)，確定|PF₁|=（$\sqrt{3}$+3）a，|PF₂|=（$\sqrt{3}$+1）a，是解題的關(guān)鍵．