【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx﹣ ax2﹣bx
(1)當(dāng)a=b= 時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=0,b=﹣1時,方程f(x)=mx在區(qū)間[1,e2]內(nèi)有唯一實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:依題意,知f(x)的定義域為(0,+∞),

當(dāng)a=b= 時,f(x)=lnx﹣ x2 x,

∴f′(x)=

令f′(x)=0,解得:x=1或x=﹣2(舍去),經(jīng)檢驗,x=1是方程的根.

當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0,當(dāng)x>1時,f′(x)<0,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+∞)


(2)解:當(dāng)a=0,b=﹣1時,f(x)=lnx+x,

由f(x)=mx得mx=lnx+x,

又因為x>0,所以m=1+ ,

要使方程f(x)=mx在區(qū)間[1,e2]內(nèi)有唯一實數(shù)解,

只需m=1+ 有唯一實數(shù)解,

令g(x)=1+ (x>0),∴g′(x)= (x>0),

由g′(x)>0,得:0<x<e,由g′(x)<0,得x>e,

所以g(x)在區(qū)間[1,e]上是增函數(shù),在區(qū)間[e,e2]上是減函數(shù),

g(1)=1+ =1,g(e2)=1+ =1+ ,

g(e)=1+ =1+ ,

所以m=1+ 或1≤m<1+


【解析】(1)將a,b的值代入,求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式,導(dǎo)數(shù),從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)將a,b的值代入函數(shù)的表達(dá)式,問題轉(zhuǎn)化為只需m=1+ 有唯一實數(shù)解,求出函數(shù)y=g(x)=1+ 的單調(diào)性,從而求出m的范圍.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求;

(2)令,計算,由此推測數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,證明你的結(jié)論.

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【題目】下面推理過程中使用了類比推理方法,其中推理正確的是( )

A. 平面內(nèi)的三條直線,若,則.類比推出:空間中的三條直線,若,則

B. 平面內(nèi)的三條直線,若,則.類比推出:空間中的三條向量,若,則

C. 在平面內(nèi),若兩個正三角形的邊長的比為,則它們的面積比為.類比推出:在空間中,若兩個正四面體的棱長的比為,則它們的體積比為

D. ,則復(fù)數(shù).類比推理:,則

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(2)當(dāng)a= π時,后輪中心從F處移動到H處實際移動了多少厘米?(精確到1cm)

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