Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+2ax(x≥1) 2ax-1(x＜1)

，若存在兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：若函數(shù)f（x）=

-x2+2ax(x≥1) 2ax-1(x＜1)

，若存在兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)，進而根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：若存在兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，使得f（x₁）=f（x₂），
則函數(shù)f（x）函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)，
由y=-x²+2ax在（a，+∞）上為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=

-x2+2ax(x≥1) 2ax-1(x＜1)

為單調(diào)函數(shù)時只能是減函數(shù)，
此時a＜0，
故函數(shù)f（x）函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)時，a≥0，
即實數(shù)a的取值范圍為：[0，+∞），
故答案為：[0，+∞）

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，其中根據(jù)已知分析出函數(shù)f（x）函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)，是解答的關鍵．