【題目】已知橢圓的離心率,橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1,A2,左、右頂點(diǎn)分別為B1B2,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.原點(diǎn)到直線A2B2的距離為.

1)求橢圓C的方程;

2P是橢圓上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線PA1,PA2,分別交x軸于點(diǎn)NM,若直線OT與以MN為直徑的圓G相切,切點(diǎn)為T.證明:線段OT的長為定值,并求出該定值.

【答案】1y212)證明見解析;定值2

【解析】

1)設(shè)a2m,cm,則bm.直線A2B2方程為mx2my2m20.由點(diǎn)到直線距離公式能求出m1.由此能求出橢圓方程.

2)由A101A20,﹣1),設(shè)Px0y0),分別求出直線PA1和直線PA2,設(shè)圓G的圓心為,利用圓的性質(zhì)能證明線段OT的長度為定值2;

1)因為橢圓C的離心率e,故設(shè)a2m,cm,則bm.

直線A2B2方程為bxayab0,即mx2my2m20.

所以,解得m1.

所以a2b1,橢圓方程為y21;

2)由(1)可知A10,1A20,﹣1),設(shè)Px0,y0),

直線PA1y1x,令y0,得xN,

直線PA2y+1x,令y0,得xM,

設(shè)圓G的圓心為

.

OG2.

OT2OG2r2.

y021,所以x0241y02),所以OT24,

所以OT2,即線段OT的長度為定值2.

練習(xí)冊系列答案
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②由可得

③由可得;

④由可得

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