【題目】已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)證明:.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)解析式先求得導(dǎo)函數(shù),由極值點存在條件可知,可得;再求得導(dǎo)函數(shù)的極值點,即可由導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點代入求得等量關(guān)系,結(jié)合不等式求得定義域.
(2)利用分析法分析可知,若證明,只需證明,利用換元法轉(zhuǎn)化并求得導(dǎo)函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和最值證明不等式成立即可.
(1)函數(shù),
則,
因為有極值點,所以,
化簡可得,
導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點.
而導(dǎo)函數(shù)的極值點為二次函數(shù)頂點的橫坐標(biāo),所以是的零點.
即,
代入可得,化簡可知,
又,即,解得,
,
(2)證明:要證,,
只要證,
只要證,
只要證,
設(shè),,則,
所以,,
,
,
原式得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自湖北爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎疫情以來,湖北某市醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療、生活物資嚴(yán)重匱乏,全國各地紛紛馳援.某運(yùn)輸隊接到從武漢送往該市物資的任務(wù),該運(yùn)輸隊有8輛載重為6t的A型卡車,6輛載重為10t的B型卡車,10名駕駛員,要求此運(yùn)輸隊每天至少運(yùn)送240t物資.已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車5次,B型卡車4次,每輛卡車每天往返的成本A型卡車1200元,B型卡車1800元,則每天派出運(yùn)輸隊所花的成本最低為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:()的離心率為,點在橢圓C上,直線與橢圓C交于不同的兩點A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線,分別交y軸于M,N兩點,問:x軸上是否存在點Q,使得?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)設(shè)函數(shù)在上有且只有一個零點,求的取值范圍.(其中,為自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線:.
(1)寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線上有一動點,曲線上有一動點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】檢驗中心為篩查某種疾病,需要檢驗血液是否為陽性,對份血液樣本,有以下兩種檢驗方式:①逐份檢驗,需要檢驗次;②混合檢驗,即將其中(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗,若檢驗結(jié)果為陰性,這份的血液全為陰性,因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了,如果檢驗結(jié)果為陽性,為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性,再對這份再逐份檢驗,此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.
(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽性,若采用逐份檢驗方式,求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率;
(2)現(xiàn)取其中(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為點.當(dāng)時,根據(jù)和的期望值大小,討論當(dāng)取何值時,采用逐份檢驗方式好?
(參考數(shù)據(jù):,,,,,.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),是的導(dǎo)數(shù).
(1)當(dāng)時,令,為的導(dǎo)數(shù).證明:在區(qū)間存在唯一的極小值點;
(2)已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)判斷函數(shù)的零點的個數(shù),并說明理由;
(3)設(shè)是的一個零點,證明曲線在點處的切線也是曲線的切線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,橢圓C的上、下頂點分別為A1,A2,左、右頂點分別為B1,B2,左、右焦點分別為F1,F2.原點到直線A2B2的距離為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)P是橢圓上異于A1,A2的任一點,直線PA1,PA2,分別交x軸于點N,M,若直線OT與以MN為直徑的圓G相切,切點為T.證明:線段OT的長為定值,并求出該定值.
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