Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=（a+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在區(qū)間（-1，2）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）對(duì)f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）賦值，求f（x）；（2）借助二次函數(shù)的對(duì)稱軸易解．

解答： 解：（1）由f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），
令x=1，y=0，得，f（1）-f（0）=1（1+1）=2，
∴f（0）=-2，∴f（x+0）-f（0）=x（x+1），
∴f（x）═x²+x-2．
（2）g（x）=x²+（1-a）x-2（a+1），
∵g（x）在區(qū)間（-1，2）上是單調(diào)函數(shù)；
∴

a-1

2

≥2或

a-1

2

≤-1，
即a≥5或a≤-1；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]∪[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．