Question

下面四個命題：①命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；②把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；③向面積為S的三角形ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，則△PBC的面積小于

S

3

的概率是

5

9

；④正方體的內(nèi)切球與其外接球的表面積之比為1：3．
其中所有正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型

分析：①可通過含有一個量詞的命題的否定來判斷，存在性命題的否定是全稱性命題；
②根據(jù)圖象向左（右）平移，必須針對自變量x而言，即自變量x加（減），即圖象平移規(guī)律，即可判斷；
③這是幾何概率問題，先確定兩個區(qū)域，再確定一個測度，這里選面積為測度，求出它們的面積，相除即可；
④分析正方體的外接球的直徑為正方體的對角線長，內(nèi)切球的直徑為正方體的邊長，再運(yùn)用球的表面積公式相除即可．

解答： 解：①命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”故①正確；
②把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到y(tǒng)=3sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]即y=3sin（2x-

π

3

）的圖象，故②錯；
③記事件A={△PBC的面積大于

S

3

}，基本事件是三角形ABC，（如圖）
事件A的幾何度量為圖中陰影部分的面積（D、E分別是三角形的邊上的三等分點(diǎn)），
∵△ADE∽△ABC，且相似比為

2

3

，∴

S△ADE

S△ABC

=

4

9

，
∴陰影部分的面積是整個三角形面積的

4

9

，∴P（A）=

4

9

，
∴△PBC的面積小于

S

3

的概率是1-P（A）=1-

4

9

=

5

9

．
∴向面積為S的三角形ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，則△PBC的面積小于

S

3

的概率是

5

9

，故③正確；
④設(shè)正方體的邊長為a，其內(nèi)切球的半徑為r，其外接球的半徑為R，則2R=

3

a，2r=a，故正方體的內(nèi)切球和其外接球的表面積之比為：4πr²：4πR²=1：3，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題以命題的真假為載體，考查三角函數(shù)的圖象平移規(guī)律和幾何概率的求法，以及命題的否定形式，注意與否命題的區(qū)別，考查正方體的外接球和內(nèi)切球之間的關(guān)系，這些基礎(chǔ)知識必須掌握．