Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

1+an

1-an

（其中n∈N^*），則a₆=

 

；使得a₁+a₂+a₃+…+a_n≥72成立的n的最小值是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：規(guī)律型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用a₁=

1

2

，a_n+1=

1+an

1-an

求出數(shù)列的前幾項，判定出數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，求出a₆的值；求出一個周期的項的和，得出使得a₁+a₂+a₃+…+a_n≥72成立的n的最小值．

解答： 解：∵a₁=

1

2

，a_n+1=

1+an

1-an

（其中n∈N^*），
∴a2=

1+ 1 2

1- 1 2

=3，a3=

1+3

1-3

=-2，a4=

1-2

1+2

=-

1

3

，a5=

1- 1 3

1+ 1 3

=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，
∴a₆=a₂=3；
∵a1+a2+a3+a4=

7

6

，
∴60個周期的和為70，
∵每個周期的后兩個數(shù)是-

1

3

，-2；
∴加到第60個周期的前2個數(shù)時和超過72，
∴使得a₁+a₂+a₃+…+a_n≥72成立的n的最小值是59×4+2=238．
故答案為：3；238．

點評：本題考查由遞推關(guān)系求數(shù)列的項并求通項公式；找規(guī)律求和的范圍，屬于一道中檔題．