【題目】已知函數(shù)f(x)=x4lnx﹣a(x4﹣1),a∈R.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)f(x)的極小值為φ(a),當(dāng)a>0時(shí),求證: .(e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底)

【答案】
(1)解:f'(x)=4x3lnx+x3﹣4ax3

則f'(1)=1﹣4a.又f(1)=0,

所以,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=(1﹣4a)(x﹣1).


(2)解:由(1)得f'(x)=x3(4lnx+1﹣4a).

①當(dāng) 時(shí),因?yàn)閥=4lnx+1﹣4a為增函數(shù),所以當(dāng)x≥1時(shí),4lnx+1﹣4a≥4ln1+1﹣4a=1﹣4a>0,

因此f'(x)≥0.

當(dāng)且僅當(dāng) ,且x=1時(shí)等號(hào)成立,

所以f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù).

因此,當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥f(1)=0.

所以, 滿足題意.

②當(dāng) 時(shí),由f'(x)=x3(4lnx+1﹣4a)=0,得 ,

解得

因?yàn)? ,所以 ,所以

當(dāng) 時(shí),f'(x)<0,因此f(x)在 上為減函數(shù).

所以當(dāng) 時(shí),f(x)<f(1)=0,不合題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是


(3)解:由f'(x)=x3(4lnx+1﹣4a)=0,得 ,

當(dāng) 時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);當(dāng) 時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).

所以f(x)的極小值 =

由φ'(a)=1﹣e4a1=0,得

當(dāng) 時(shí),φ'(a)>0,φ(a)為增函數(shù);當(dāng) 時(shí),φ'(a)<0,φ(a)為減函數(shù).

所以

= =

下證:a>0時(shí),

,

,

,

,則

當(dāng) 時(shí),r'(a)<0,r(a)為減函數(shù);當(dāng) 時(shí),r'(a)>0,r(a)為增函數(shù).所以 ,即

所以 ,即 .所以

綜上所述,要證的不等式成立.


【解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的概念求切線的斜率,點(diǎn)斜式寫出方程即可;(2)f(x)≥0恒成立,只需求出f(x)的最小值大于等于零即可,求出導(dǎo)函數(shù),對(duì)參數(shù)a分類討論,討論是否滿足題意;(3)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極小值φ(a),對(duì)極小值進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)得出極小值的最大值等于零,右右不等式得證,再利用構(gòu)造函數(shù)的方法,通過導(dǎo)函數(shù)證明左式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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