已知函數(shù)f(x)=ax3-3x.
(1)當a≤0時,求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為4,求a的值.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:分類討論,轉化思想
分析:(1)利用導數(shù)結合參數(shù)條件,判斷導函數(shù)的正負,得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值,即得到參數(shù)的一個方程,從而求出參數(shù)的值.
解答: 解:(1)解:∵f(x)=ax3-3x,
∴f′(x)=3ax2-3,
∵a≤0,所以f′(x)<0對任意實數(shù)x∈R恒成立,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,+∞).
(2)當a≤0時,由(1)可知,f(x)在區(qū)間[1,2]是減函數(shù),
由f(2)=4得a=
5
4
,(不符合舍去),
當a>0時,f′(x)=3ax2-3=0的兩根x=±
1
a
,
①當
1
a
≤1
,即a≥1時,f′(x)≥0在區(qū)間[1,2]恒成立,f(x)在區(qū)間[1,2]是增函數(shù),由f(1)=4得a=7;
②當
1
a
≥2
,即0<a≤
1
4
時 f′(x)≤0在區(qū)間[1,2]恒成立 f(x)在區(qū)間[1,2]是減函數(shù),f(2)=4,a=
5
4
(不符合舍去);
③當1<
1
a
<2
,即
1
4
<a<1
時,f(x)在區(qū)間[1,
1
a
]
是減函數(shù),f(x)在區(qū)間[
1
a
,2]
是增函數(shù);所以f(
1
a
)=4
無解.
綜上,a=7.
點評:本題考查的是導數(shù)知識,重點是利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,難點是分類討論.對學生的能力要求較高,屬于難題.
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5
5
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n
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1
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2
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x
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2
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4
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