Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=f（4-x），且f（2-x）+f（x-2）=0，求f（2012）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將等式f （2-x）+f （x-2）=0的x用x+2代替得到函數(shù)為奇函數(shù)；利用奇函數(shù)化簡等式f（x）=f （4-x）；得到函數(shù)是周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期求出f（2012）．

解答： 解：∵f （2-x）+f （x-2）=0
∴f（x-2）=-f（2-x）
將x用x+2代替得到f（x）=-f（-x）
∴f（x）為奇函數(shù)
∵f（x）=f （4-x）
f（x）=-f（x-4）
將x用x+4代替得f（x+4）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x-4）
∴函數(shù)以8為周期
∴f（2012）=f（4）=f（0）=0．

點(diǎn)評：本題考查對于抽象函數(shù)常通過給已知等式中的自變量賦值得到新等式，研究出函數(shù)的性質(zhì)．