Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，右頂點M的坐標為（2，0），直線l過左焦點F交橢圓于A，B兩點，直線MA，MB分別交直線x=-4于C，D兩點．
（1）求橢圓方程；
（2）當l⊥x軸時，求證：CF⊥DF；
（3）求證：以線段CD為直徑的圓恒過兩個定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得

c a = 1 2 a=2

，由此能求出橢圓方程．
（2）直線l過左焦點F（-1，0）交橢圓于A，B兩點，l⊥x軸，直線l的方程為x=-1，由此能求出A（-1，

3

2

），B（-1，-

3

2

），C（-4，3），D（-4，-3）．從而能證明CF⊥DF．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB：x=my-1，代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3m²+4）y²-6my-9=0，由此利用已知條件能證明以線段CD為直徑的圓過x軸上的兩個定點（-1，0）和（-7，0）．

解答： （1）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，右頂點M的坐標為（2，0），
∴

c a = 1 2 a=2

，解得a=2，c=1，∴b²=4-1=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：∵直線l過左焦點F（-1，0）交橢圓于A，B兩點，l⊥x軸，
∴直線l的方程為x=-1，
聯(lián)立

x=-1 x2 4 + y2 3 =1

，得A（-1，

3

2

），B（-1，-

3

2

），
∴直線MA：x+2y-2=0，聯(lián)立

x=-4 x+2y-2=0

，得C（-4，3），
直線MB：x-2y-2=0，聯(lián)立

x=-4 x-2y-2=0

，得D（-4，-3）．
∴

CF

=(3，-3)，

DF

=(3，3)，∴

CF

•

DF

=0，
∴CF⊥DF．
（3）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB：x=my-1，
代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，整理，得（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴

y1+y2= 6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

，
∵MC：y=

y1

x1-2

(x-2)，∴yC=

-6y1

x1-2

，
∵MD：y=

y2

x2-2

(x-2)，∴yD=

-6y2

x2-2

，
∴yCyD=

36y1y2

(x1-2)(x2-2)

=

36y1y2

(my1-3)(my2-3)

=

36y1y2

m2y1y2-3m(y1+y2)+9

=

36• -9 3m2+4

m2• -9 3m2+4 -3m• 6m 3m2+4 +9

=-9，
設CD與x軸交于點N，以線段CD為直徑的圓與x軸交于點P，Q，
則NP²=NQ²=NC•ND=|y_Cy_D|=9，NP=NQ=3，
∵N（-4，0），∴點P，Q的坐標為（-1，0），（-7，0），
∴以線段CD為直徑的圓過x軸上的兩個定點（-1，0）和（-7，0）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩線段垂直的證明，考查以線段為直徑的圓恒過兩個定點，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．