Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上點M（3，m）到焦點F的距離為4．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）點P為準線上任意一點，AB為拋物線上過焦點的任意一條弦，設直線PA，PB，PF的斜率為k₁，k₂，k₃，問是否存在實數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃恒成立．若存在，請求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：存在型,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由拋物線的定義：到焦點的距離等于到準線的距離，即可求出p，從而得到方程；
（Ⅱ）求出焦點和準線，設出直線AB，聯(lián)立方程，消去x得到y(tǒng)的方程，運用韋達定理，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（-1，t），運用斜率公式，化簡整理，注意點在拋物線上，且全部轉化為y的式子，即可判斷．

解答： 解：（I）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為（

p

2

，0），準線為x=-

p

2

，
由拋物線的定義可知：4=3+

p

2

，p=2
∴拋物線方程為y²=4x；
（II）由于拋物線y²=4x的焦點F為（1，0），準線為x=-1，
設直線AB：x=my+1，與y²=4x聯(lián)立，消去x，整理得：
y²-4my-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（-1，t），有

y1+y2=4m y1y2=-4

易知k3=-

t

2

，而k1+k2=

y1-t

x1+1

+

y2-t

x2+1

=

(x2+1)(y1-t)+(x1+1)(y2-t)

(x1+1)(x2+1)

=

( y 2 2 4 +1)(y1-t)+( y 2 1 4 +1)(y2-t)

( y 2 1 4 +1)( y 2 2 4 +1)

=

-t(4m2+4)

4m2+4

=-t=2k₃
∴存在實數(shù)λ=2，使得k₁+k₂=λk₃恒成立．

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的定義、性質和方程，同時考查聯(lián)立方程，運用韋達定理，運用斜率公式，考查運算化簡能力，是一道中檔題．