Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（

3

，0）（-

3

，0），長(zhǎng)軸是短軸的兩倍． 
（1）求橢圓C的方程； 
（2）在y的正半軸上是否存在一點(diǎn)P（0，p），過(guò)定點(diǎn)P作任意一條直線與橢圓C交于兩點(diǎn)S，T，使得

OS

•

OT

為一個(gè)定值．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

c= 3 a=2b a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當(dāng)過(guò)定點(diǎn)P的直線存在斜率k時(shí)，設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，p）的直線方程為y=kx+p，聯(lián)立

y=kx+p x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kpx+4p²-4=0，設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由韋達(dá)定理求出

OS

•

OT

=x₁x₂+y₁y₂=-1+

5p2-3

4k2+1

，所以當(dāng)p=

15

5

時(shí)，

OS

•

OT

為定值-1，此時(shí)點(diǎn)P（0，

15

5

）．當(dāng)過(guò)定點(diǎn)P（0，

15

5

）的直線的斜率不存在時(shí)，也成立．由此推導(dǎo)出

OS

•

OT

為定值-1，點(diǎn)P（0，

15

5

）．

解答： 解：（1）∵橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（

3

，0）（-

3

，0），長(zhǎng)軸是短軸的兩倍，
∴

c= 3 a=2b a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）當(dāng)過(guò)定點(diǎn)P的直線存在斜率k時(shí)，設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，p）的直線方程為y=kx+p，
聯(lián)立

y=kx+p x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kpx+4p²-4=0，
△＞0，設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8kp

4k2+1

，x1x2=

4p2-4

4k2+1

，
∴y₁y₂=（kx₁+p）（kx₂+p）
=k2x1x2+kp(x1+x2)+p2
=

4k2p2-4k2

4k2+1

-

8k2p2

4k2+1

+p2
=

p2-4k2

4k2+1

，
∴

OS

•

OT

=x₁x₂+y₁y₂=

4p2-4

4k2+1

+

p2-4k2

4k2+1

=

5p2-4k2-4

4k2+1

=-1+

5p2-3

4k2+1

，
∴當(dāng)5p²-3=0，即p=

15

5

時(shí)，

OS

•

OT

為定值-1，
此時(shí)點(diǎn)P（0，

15

5

）．
當(dāng)過(guò)定點(diǎn)P（0，

15

5

）的直線的斜率不存在時(shí)，S（0，1），T（0，-1），

OS

•

OT

也為定值-1．
綜上，

OS

•

OT

為定值-1，點(diǎn)P（0，

15

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積為定值時(shí)定點(diǎn)坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．