【題目】如圖,橢圓M: =1(a>b>0)的離心率為 ,直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8.
(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q,l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S,T.求 的最大值及取得最大值時(shí)m的值.

【答案】解:(I) …①
矩形ABCD面積為8,即2a2b=8…②
由①②解得:a=2,b=1,
∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是
(II)
由△=64m2﹣20(4m2﹣4)>0得
設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則 ,

當(dāng)l過A點(diǎn)時(shí),m=1,當(dāng)l過C點(diǎn)時(shí),m=﹣1.
①當(dāng) 時(shí),有 , ,
其中t=m+3,由此知當(dāng) ,即 時(shí), 取得最大值
②由對稱性,可知若 ,則當(dāng) 時(shí), 取得最大值
③當(dāng)﹣1≤m≤1時(shí), ,
由此知,當(dāng)m=0時(shí), 取得最大值
綜上可知,當(dāng) 或m=0時(shí), 取得最大值
【解析】(Ⅰ)通過橢圓的離心率,矩形的面積公式,直接求出a,b,然后求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ) 通過 ,利用韋達(dá)定理求出|PQ|的表達(dá)式,通過判別式推出的m的范圍,①當(dāng) 時(shí),求出 取得最大值 .利用由對稱性,推出 , 取得最大值 .③當(dāng)﹣1≤m≤1時(shí), 取得最大值 .求 的最大值及取得最大值時(shí)m的值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知, 分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列, , 的前項(xiàng)和為.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,有,且是函數(shù)的零點(diǎn).

(1)求的值;

(2)若數(shù)列公差為,且點(diǎn),當(dāng)時(shí)所有點(diǎn)都在指數(shù)函數(shù)的圖象上.

請你求出解析式,并證明: .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在測試中,客觀題難題的計(jì)算公式為,其中為第題的難度, 為答對該題的人數(shù), 為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級120名學(xué)生進(jìn)行一次測試,共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如下表所示:

測試后,從中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生,將他們編號后統(tǒng)計(jì)各題的作答情況,如下表所示(“√”表示答對,“×”表示答錯(cuò)):

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),將抽樣的10名學(xué)生每道題實(shí)測的答對人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測難度填入下表,并估計(jì)這120名學(xué)生中第5題的實(shí)測答對人數(shù);

(2)從編號為1到5的5人中隨機(jī)抽取2人,求恰好有1人答對第5題的概率;

(3)定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第題的實(shí)測難度, 為第題的預(yù)估難度(.規(guī)定:若,則稱該次測試的難度預(yù)估合理,否則為不合理.判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)椋?/span>
A.(﹣1,1]
B.(﹣1,0)∪(0,1]
C.(﹣1,1)
D.(﹣1,0)∪(0,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC= ,D,E分別是AC1和BB1的中點(diǎn),則直線DE與平面BB1C1C所成的角為(

A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知曲線,曲線 是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)的直線與都有公共點(diǎn),則稱為“型點(diǎn)”.

(1)證明: 的左焦點(diǎn)是“型點(diǎn)”;

(2)設(shè)直線有公共點(diǎn),求證: ,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是型點(diǎn)”;

(3)求證: 內(nèi)的點(diǎn)都不是型點(diǎn)”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線C: =1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F(﹣c,0)(c>0),以O(shè)F為直徑的圓交雙曲線C的漸近線于A,B,O三點(diǎn),且( + =0,若關(guān)于x的方程ax2+bx﹣c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2 , 則以|x1|,|x2|,2為邊長的三角形的形狀是(
A.鈍角三角形
B.直角三角形
C.銳角三角形
D.等腰直角三角形

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本小滿分13分)如圖,三棱柱中,,

(1)證明:

(2),,求三棱錐的體積.

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【題目】設(shè)ω>0,函數(shù)y=sin(ωx+ )+2的圖象向右平移 個(gè)單位后與原圖象重合,則ω的最小值是(
A.
B.
C.
D.3

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