Question

已知集合Ω={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意點(diǎn)P（x₁，y₁）∈Ω，總存在點(diǎn)Q（x₂，y₂）∈Ω（x₂，y₂不同時(shí)為0），使得x₁•x₂+y₁•y₂=0成立，則稱集合M是“正交對(duì)偶點(diǎn)集”．下面給出四個(gè)集合：
①Ω={（x，y）|y=|x-1|}；　　 　　②Ω={（x，y）|y=

3-x2

}；
③Ω={（x，y）|y=e^x-

1

2

}；        ④Ω={（x，y）|y=tanx}
其中是“正交對(duì)偶點(diǎn)集”的序號(hào)是（　　）

• A、①②
• B、②
• C、③
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于①畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用“正交對(duì)偶點(diǎn)集”的定義，判斷正誤即可；
對(duì)于②利用“正交對(duì)偶點(diǎn)集”的定義，判斷正誤即可；
對(duì)于③通過(guò)特例，判斷是否滿足“正交對(duì)偶點(diǎn)集”的定義，畫(huà)出函數(shù)的圖象即可判斷正誤；
對(duì)于④畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用“正交對(duì)偶點(diǎn)集”的定義，判斷正誤即可；

解答： 解：對(duì)于①Ω={（x，y）|y=|x-1|}；函數(shù)的圖象如圖：
由“正交對(duì)偶點(diǎn)集”的定義可知，

OP

•

OQ

=0，當(dāng)P在圖象位置時(shí)不存在Q滿足題意，∴①不正確；
對(duì)于②，Ω={（x，y）|y=

3-x2

}；函數(shù)的圖象是一個(gè)x軸上方的半圓，由“正交對(duì)偶點(diǎn)集”的定義可知，

OP

•

OQ

=0，半圓的圓心是原點(diǎn)，∴滿足題意，②正確．
對(duì)于③，M={（x，y）|y=e^x-

1

2

}，如圖（2）如圖紅線的直角始終存在，對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，

1

2

），則不存在N，滿足“正交對(duì)偶點(diǎn)集”的定義，
∴③不正確．
對(duì)于④Ω={（x，y）|y=tanx}，y=tanx的圖象如圖，
由“正交對(duì)偶點(diǎn)集”的定義可知，

OP

•

OQ

=0，在（π，0）這點(diǎn)不符合條件，P，Q不始終存在滿足定義，∴④不正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及轉(zhuǎn)化思想，解答的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，是中檔題．