Question

已知函數(shù)f（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求g（x）=f（x）+ax在x=1處的切線方程；
（Ⅲ）若在區(qū)間（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1

2

x2-2x+lnx，f′(x)=x-2+

1

x

=

(x-1)2

x

．由于?x∈[1，e]，f′（x）≥0恒成立，即可得到f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞性，即可得出最值．
（II）分別計(jì)算出g（1），g′（1），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得g（x）=f（x）+ax在x=1處的切線斜率及其方程．
（III）函數(shù)f（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

．對(duì)a分類討論：
（i）當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．（ii）當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，令f′（x）=0，解得x₁=1，x2=

1

2a-1

．進(jìn)一步分類討論：當(dāng)1=x₁＜x₂時(shí)，即

1

2

＜a＜1時(shí)，②當(dāng)x₂≤x₁=1時(shí)，即a≥1，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1

2

x2-2x+lnx，f′(x)=x-2+

1

x

=

(x-1)2

x

．
對(duì)于?x∈[1，e]，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增．
∴f（x）_max=f（e）=

1

2

e2-2e+1，f(x)min=f(1)=-

3

2

．
（II）g（x）=(a-

1

2

)x2-ax+lnx，g（1）=-

1

2

．
g′（x）=（2a-1）x-a+

1

x

，g′（1）=a．
∴g（x）=f（x）+ax在x=1處的切線方程是
y+

1

2

=a（x-1），即y=ax-(a+

1

2

)；
（III）函數(shù)f（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

．
（i）當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，恒有f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．
要滿足在區(qū)間（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，則f（1）=-a-

1

2

≤0即可，解得a≥-

1

2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．
（ii）當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，令f′（x）=0，解得x₁=1，x2=

1

2a-1

．
①當(dāng)1=x₁＜x₂時(shí)，即

1

2

＜a＜1時(shí)，在區(qū)間（x₂，+∞）上有f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增，不合題意，應(yīng)舍去．
②當(dāng)x₂≤x₁=1時(shí)，即a≥1，在區(qū)間（1，+∞）上有f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增，不合題意．
綜上（i）（ii）可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．