Question

如圖，已知AB是圓柱OO₁底面圓O的直徑，底面半徑R=1，圓柱的表面積為8π；點C在底面圓O上，且直線A₁C與下底面所成的角的大小為60°．
（1）求點A到平面A₁CB的距離；
（2）求二面角A-A₁B-C的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）確定∠A₁CA是直線A₁C與下底面所成的角，以A為坐標(biāo)原點，以AB、AA₁分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A₁CB的一個法向量，利用距離公式，即可求點A到平面A₁CB的距離；
（2）平面A₁AB的一個法向量為

m

=（1，0，0），由（1）知平面A₁CB的一個法向量

n

=（

3

2

，

3

2

，1），利用向量的夾角公式，即可求二面角A-A₁B-C的大�。�

解答： 解：（1）設(shè)AA₁=h，因為底面半徑R=1，圓柱的表面積為8π，
所以2π×1²+2πh=8π，解得h=3．
因為AA₁⊥底面ACB，所以AC是A₁C在底面ACB上的射影，
所以∠A₁CA是直線A₁C與下底面所成的角，即∠A₁CA=60°
在直角三角形A₁CA中，A₁A=3，∠A₁CA=60°，所以AC=

3

．
AB是底面直徑，所以∠CAB=

π

6

．
以A為坐標(biāo)原點，以AB、AA₁分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
則A（0，0，0）、C（

3

2

，

3

2

，0）、A₁（0，0，3）、B（0，2，0），
于是

AC

=（

3

2

，

3

2

，0），

A1B

=（0，2，3），

CB

=（-

3

2

，

1

2

，0）
設(shè)平面A₁CB的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

- 3 2 x+ 1 2 y=0 2y-2z=0

，
不妨令z=1，則

n

=（

3

2

，

3

2

，1），
所以A到平面A₁CB的距離d=

| n • AC |

| n |

=

3

2

所以點A到平面A₁CB的距離為

3

2

．
（2）平面A₁AB的一個法向量為

m

=（1，0，0）
由（1）知平面A₁CB的一個法向量

n

=（

3

2

，

3

2

，1），
二面角A-A₁B-C的大小為θ，則|cosθ|=

3

4

．
由于二面角A-A₁B-C為銳角，所以二面角A-A₁B-C的大小為arccos

3

4

．

點評：本題考查二面角大小的計算，考查點到平面距離的計算，正確運(yùn)用向量方法是關(guān)鍵．