Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，AE=AF=4，現(xiàn)將△AEF沿線段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2

6

．
（1）求五棱錐A′-BCDFE的體積；
（2）在線段A′C上是否存在一點M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC，設(shè)AC∩EF=H，由已知條件推導(dǎo)出平面A′HC⊥平面ABCD，過點A′作A′O垂直HC且與HC相交于點O，則A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱錐A′-BCDFE的體積．
（2）線段A′C上存在一點M，使得BM∥平面A′EF，A′M=

6

2

．證明平面MBD∥平面A′EF，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）連接AC，設(shè)AC∩EF=H，
由ABCD是正方形，AE=AF=4，得H是EF的中點，
且EF⊥AH，EF⊥CH，
從而有A′H⊥EF，CH⊥EF，
∴EF⊥平面A′HC，
從而平面A′HC⊥平面ABCD，…（2分）
過點A′作A′O垂直HC且與HC相交于點O，則A′O⊥平面ABCD．…（4分）
∵正方形ABCD的邊長為6，AE=AF=4，
得到：A′H=2

2

，CH=4

2

，
∴cos∠A′HC=

8+32-24

2×2 2 ×4 2

=

1

2

，
∴HO=A′H•cos∠A′HC=

2

，A′O=

6

，
∴五棱錐A′-BCDFE的體積V=

1

3

×（6²-

1

2

×4×4）×

6

=

28 6

3

；…（6分）
（2）線段A′C上存在一點M，使得BM∥平面A′EF，A′M=

6

2

．…（7分）
證明：∵A′M=

6

2

=

1

4

A′C，HO=

1

4

HC，
∴OM∥A′H，
∴OM∥平面A′EF，…（9分）
又BD∥EF，
∴BD∥平面A′EF，…（10分）
∴平面MBD∥平面A′EF，…（11分）
由BM在平面MBD內(nèi)，∴BM∥平面A′EF．…（12分）

點評：本題考查五棱錐的體積的求法，考查線面平行，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．