Question

已知直線l₁：x+y-3=0與直線l₂：x-3y+1=0相交于點(diǎn)C，以C為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A（0，1）．
（1）求圓C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)B（4，5）的圓C的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求出交點(diǎn)，可得C的坐標(biāo)，求出半徑，可得圓C的方程；
（2）分情況討論，切線斜率存在和不存在兩種，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線l的方程為：y-5=k（x-4）化為一般式，利用圓心到直線的距離等于半徑運(yùn)算即可；②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直接檢驗(yàn)即可．

解答： 解：（1）由直線l₁：x+y-3=0與直線l₂：x-3y+1=0相交于點(diǎn)C，可得C（2，1），
∵以C為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A（0，1），
∴圓的半徑為2，
∴圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=4；
（2）①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線l的方程為：y-5=k（x-4）
即：kx-y+5-4k=0
由

|2k-1-4k+5|

1+k2

=2得k=

3

4

，
∴切線方程l：3x-4y+8=0
②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（4，5）的直線為x=4
經(jīng)檢驗(yàn)是圓（x-2）²+（y-1）²=4的切線．
∴切線方程為3x-4y+8=0或x=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的切線方程，其中根據(jù)直線斜率是否存在為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，分別求出圓的切線方程，是解答本題的關(guān)鍵．