Question

【題目】設函數(shù)f（x）=lg（ax﹣bx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12

（1）求a，b的值．

（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的最大值．

（3）m為何值時，函數(shù)g（x）=ax的圖象與h（x）=bx﹣m的圖象恒有兩個交點．

Answer 1

【答案】（1）a=4，b=2； （2）當x=2時，函數(shù)f（x）取最大值lg12，（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件得到關于a，b的方程組求解可得a=4，b=2；（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=lg（4x﹣2x），根據(jù)x∈[1，2]，可得，再由函數(shù)的單調性求最值；（3）設t=2x，將問題轉化成方程有兩個正解處理，根據(jù)判別式和根與系數(shù)的關系可求解。

試題解析：（1）∵f（1）=lg2，f（2）=lg12， f（x）=lg（ax﹣bx）

∴，解得。

∴a=4，b=2；

（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=lg（4x﹣2x），

當時， ，

∴，

∴，

故當，即x=2時，函數(shù)f（x）取最大值lg12。

（3）若函數(shù)g（x）=ax的圖象與h（x）=bx﹣m的圖象恒有兩個交點．

則方程4x﹣2x=m有兩個解，

令t=2x，則t＞0，

則方程有兩個正解；

故， 解得。

所以當時，函數(shù)g（x）=ax的圖象與h（x）=bx﹣m的圖象恒有兩個交點。