Question

【題目】設(shè)拋物線(xiàn)：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，判斷：三點(diǎn)是否共線(xiàn)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）三點(diǎn)共線(xiàn)，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）解法一，利用焦半徑公式直接求得值，解法二，根據(jù)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上和兩點(diǎn)間的距離，列方程組求解；（2）解法一，分直線(xiàn)的斜率不存在和存在兩種情況，斜率不存在時(shí)和斜率存在時(shí)，利用直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系驗(yàn)證，說(shuō)明三點(diǎn)共線(xiàn)，解法二，設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用說(shuō)明三點(diǎn)共線(xiàn)，解法三，設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用，說(shuō)明三點(diǎn)共線(xiàn).

（1）解法1: 由已知得 ，，

拋物線(xiàn)的方程為

解法2: 由已知得

解得

或

又

拋物線(xiàn)的方程為

（2）解法1: 易知直線(xiàn)的斜率為0時(shí). 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于一點(diǎn),不合題意.

(1)當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則,

,.

,

三點(diǎn)共線(xiàn)

(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)：.

,消整理得

設(shè),,則

.

,

三點(diǎn)共線(xiàn).

綜上(1) (2)知三點(diǎn)共線(xiàn)

（2）解法2: 易知直線(xiàn)的斜率為0時(shí). 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于一點(diǎn),不合題意.

可設(shè)直線(xiàn).

由,得.

設(shè)，則

則,

又

,

三點(diǎn)共線(xiàn)

（2）解法3: 易知直線(xiàn)的斜率為0時(shí). 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于一點(diǎn),不合題意.

可設(shè)直線(xiàn).

由,得.

設(shè)，則

則,

又有公共點(diǎn),

三點(diǎn)共線(xiàn)