Question

【題目】直線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的3倍.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是，雙曲線經(jīng)過動(dòng)點(diǎn)，且，求雙曲線的方程；

（3）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，試問能否找到一條斜率為（）的直線與（2）中的雙曲線交于不同的兩點(diǎn)、，且滿足，若存在，求出斜率的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由于點(diǎn)在直線上，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后由到點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的3倍列方程求出，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）由可知，由此可，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程中，解方程組可得；

（3）由可知線段的中垂線過點(diǎn)，再利用兩直線斜率的關(guān)系可得結(jié)果.

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>到點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的3倍，

所以

所以，

化簡得，

解得

所以

所以點(diǎn)的坐為；

（2）因?yàn)?/span>，所以，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，

由，得，

所以雙曲線方程為

（3）因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線為為，，

由得，，

因?yàn)橹本�與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，

所以，

化簡得，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，

所以，所以線段的中點(diǎn)為，

因?yàn)?/span>，

所以，化簡得，

所以，得，

解得或，

又因?yàn)?/span>，所以解得的取值范圍為