Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（3）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義即可求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（3）根據(jù)對數(shù)不等式的解法即可解不等式f（x）＞0．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則

1+x＞0 1-x＞0

．
解得：-1＜x＜1．
即f（x）的為定義域（-1，1）．
（2）令f（x）=0得，log_a（1-x）-log_a（1+x）=0，
∴1-x=1+x，解得x=0．
故函數(shù)的零點(diǎn)為0．
（3）由f（x）＞0，得log_a（1+x）＞log_a（1-x），
∴0＜a＜1時(shí)，0＜x+1＜1-x，解得：-1＜x＜0，
當(dāng)a＞1時(shí)，x+1＞1-x＞0，解得：0＜x＜1，
即0＜a＜1時(shí)，f（x）＞0的解集為（-1，0）a＞1時(shí)，f（x）＞0的解集為（0，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．注意要對a進(jìn)行分類討論．