Question

設等差數(shù)列 {a_n}的前n項和為 S_n，a₅+a₆=24，S₁₁=143數(shù)列 {b_n}的前n項和為T_n滿足2an-1=λTn-(a1-1)(n∈N*)
（Ⅰ）求數(shù)列 {a_n}的通項公式及數(shù)列 {

1

anan+1

}的前n項和；
（Ⅱ）是否存在非零實數(shù) λ，使得數(shù)列 {b_n}為等比數(shù)列？并說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S₁₁=11a₆=143，得a₆=13，又a₅+a₆=24，解得a₅=11，d=2，從而得到a_n=2n+1，進而

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，由此能求出數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和．
（Ⅱ）由已知得4ⁿ=λT_n-2，T_n=

1

λ

•4n+

2

λ

，由此推導出不存在非零實數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}的公差為d，由S₁₁=11a₆=143，得a₆=13，
又a₅+a₆=24，解得a₅=11，d=2，
∴{a_n}的通項公式是a_n=a₅+（n-5）×2=2n+1，n∈N^*，
∴

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和：
S_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
=

n

6n+9

．
（Ⅱ）∵a₁=3，2an-1=λT_n-（a₁-1），
∴4ⁿ=λT_n-2，
T_n=

1

λ

•4n+

2

λ

，
當n=1時，b1=

6

λ

，
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=

1

λ

•4n+

2

λ

-

1

λ

•4n-1-

2

λ

=

3

λ

•4n-1，
∴b_n+1=4b_n，（n≥2），
若{b_n}是等比數(shù)列，則b₂=4b₁，
而b1=

6

λ

，b₂=

12

λ

，∴b₂=2b₁與b₂=4b₁矛盾，
故不存在非零實數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質、等比數(shù)列的定義以及前n項和與通項公式的關系，考查推理論證能力、運算求解能力及方程思想．