Question

已知：函數(shù)f（x）=

ax

1+ax

-

1

2

（a＞0且a≠1）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）記號[m]表示不超過實數(shù)m的最大整數(shù)（如：[0.3]=0，[-0.3]=-1），求函數(shù)[f（x）]+[f（-x）]的值域．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）f（x）+f（-x）=

ax

1+ax

-

1

2

+

a-x

1+a-x

-

1

2

=

ax

1+ax

-

1

2

+

1

ax+1

-

1

2

=0，f（x）=-f（-x），可得f（x）是奇函數(shù)，
（2）分類：當-

1

2

＜f（x）＜0時，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=-1+0=-1；
當0＜f(x)＜

1

2

時，時，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=0-1=-1；
當f（x）=0時，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=0+0=0；求解即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

ax

1+ax

-

1

2

（a＞0且a≠1）定義域為R，關于原點左右對稱．
函數(shù)f（-x）=

a-x

1+a-x

-

1

2

（a＞0且a≠1，
∴f（x）+f（-x）=

ax

1+ax

-

1

2

+

a-x

1+a-x

-

1

2

=

ax

1+ax

-

1

2

+

1

ax+1

-

1

2

=0，
∴f（x）=-f（-x），∴f（x）是奇函數(shù)
（2）∵a^x＞0，∴＜

ax

1+ax

＜1，
∴-

1

2

＜f（x）
當-

1

2

＜f（x）＜0時，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=-1+0=-1，
當0＜f(x)＜

1

2

時，時，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=0-1=-1，
當f（x）=0時，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=0+0=0，
綜上所述：[f（x）]+[f（-x）]的值域是{-1，0}．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式，整體求解問題，屬于中檔題．