Question

（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（﹣1，0），F(xiàn)₂（1，0），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．
（I）求橢圓C的離心率：
（II）設(shè)過點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

（I）（II）點(diǎn)Q的軌跡方程為10（y﹣2）²﹣3x²=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）

（I）∵橢圓C：（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（﹣1，0），F(xiàn)₂（1，0），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．
∴c=1，2a=PF₁+PF₂==2，即a=
∴橢圓的離心率e===…4分
（II）由（I）知，橢圓C的方程為，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y）
（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于（0，1）、（0，﹣1）兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2﹣）
（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)其方程為y=kx+2，
因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，kx₁+2），（x₂，kx₂+2），則
，，又|AQ|²=（1+k²）x²，
∴，即=…①
將y=kx+2代入中，得（2k²+1）x²+8kx+6=0…②
由△=（8k）²﹣24（2k²+1）＞0，得k²＞
由②知x₁+x₂=，x₁x₂=，代入①中化簡得x²=…③
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上，所以k=，代入③中并化簡得10（y﹣2）²﹣3x²=18
由③及k²＞可知0＜x＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）
由題意，Q（x，y）在橢圓C內(nèi)，所以﹣1≤y≤1，
又由10（y﹣2）²﹣3x²=18得（y﹣2）²∈[，）且﹣1≤y≤1，則y∈（，2﹣）
所以，點(diǎn)Q的軌跡方程為10（y﹣2）²﹣3x²=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）…13分