已知焦點在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，它們在第一象限交點的坐標為，設直線（其中為整數(shù)）.
（1）試求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）若直線與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.
（1）橢圓為： ，雙曲線為：（2）存在，滿足條件的直線共有9條.

試題分析：（1）將點代入即可求出橢圓的方程，通過橢圓的離心率求出雙曲線的離心率，聯(lián)立離心率和雙曲線的方程，求出；（2）因為直線與橢圓交于不同兩點，所以聯(lián)立直線和橢圓方程，消去，整理方程即可.
試題解析：（1）將點代入解得
∴橢圓為： ，                                       （2分）
橢圓的離心率為∴雙曲線的離心率為，              （3分）
∴，
∴雙曲線為：                                        （6分）
（2）由消去化簡整理得：
設，，則
     ①                     （8分）
由消去化簡整理得：
設，，則
     ②                     （10分）
因為，所以，
由得：．
所以或．由上式解得或．
當時，由①和②得．因是整數(shù)，
所以的值為
當，由①和②得．因是整數(shù)，所以．
于是滿足條件的直線共有9條．                                  （13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設拋物線的焦點為，準線為，，以為圓心的圓與相切于點，的縱坐標為，是圓與軸除外的另一個交點.
(I)求拋物線與圓的方程；
(II)過且斜率為的直線與交于兩點，求的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0<a<)，曲線C的極坐標方程為．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當a變化時，求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中,直線的極坐標方程為：．
（Ⅰ）寫出曲線和直線在直角坐標系下的方程；
（II）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線，的左焦點作圓: 的兩條切線，切點為，，雙曲線左頂點為，若,則雙曲線的漸近線方程為       （    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點．
（I）求橢圓C的離心率：
（II）設過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：與橢圓共焦點，

（Ⅰ）求的值和拋物線C的準線方程；
（Ⅱ）若P為拋物線C上位于軸下方的一點，直線是拋物線C在點P處的切線，問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點A，B，且使？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知拋物線的準線過雙曲線的右焦點，則雙曲線的離心率為     .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知三個數(shù)構成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（   ）
A．B．C．或D．或

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