Question

在△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，且（b-2c）cosA=a-2acos²

B

2

．
（1）求角A的值；
（2）若BC邊上的中線長為

3

，求b+c的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式右邊變形后，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用正弦定理化簡兩邊，整理求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）延長AD到E，使ED=AD=

3

，連接EB，EC，可得出△CDE≌△BDA，在三角形ACE中，利用余弦定理列出關系式，并利用基本不等式變形求出bc的最大值，利用完全平方公式化簡（b+c）²=b²+c²+2bc，確定出b+c的范圍，即可求出最大值．

解答： 解：（1）已知等式變形得：（b-2c）cosA=a-2acos²

B

2

=-a（2cos²

B

2

-1）=-acosB，
利用正弦定理化簡得：（sinB-2sinC）cosA=-sinAcosB，
去括號整理得：sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
則A=

π

3

；
（2）延長AD到E，使ED=AD=

3

，連接EB，EC，可得出△CDE≌△BDA，
在三角形ACE中，∠ACE=

2π

3

，AE=2AD=2

3

，EC=AB=c，CA=b，
由余弦定理得：AE²=AC²+AB²-2AC•ABcosA=AC²+AB²-AC•AB=b²+c²-bc=2bc-bc≥bc，即bc≤AE²=12，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=AE²+3bc≤12+36=48，
∴2

3

＜b+c≤4

3

，
則b+c的最大值為4

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理是解本題的關鍵．