已知向量
a
=（cosx，-
1
2
），
b
=（
3
sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期和最值；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用
分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式即可得出f（x），再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性即可得出；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答： 解：（1）f（x）=
a
•
b

=cosx•
3
sinx-
1
2
cos2x=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=sin(2x-
π
6
)．
最小正周期T=
2π
2
=π．
∴f(x)=sin(2x-
π
6
)，最小正周期為π．
最大值和最小值分別為1，-1．
（2）由2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤
π
2
+2kπ得，2kπ-
2π
6
≤2x≤
5π
6
+2kπ，即-
π
6
+kπ≤x≤
5π
12
+kπ．
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-
π
6
+kπ，
5π
12
+kπ]（k∈Z）．
點評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，考查了計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2+c2-a2=
3
bc，acosB+bcosA=csinC，
則角B的大小為 （　　）
A、
π
6
B、
π
3
C、
π
2
D、
2π
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），且經(jīng)過定點P（1，
3
2
），M（x0，y0）為橢圓C上的動點，以點M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若圓M與y軸有兩個不同交點，求點M橫坐標(biāo)x0的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M恒相切？若存在，求出定圓N的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點與一個頂點組成一個直角三角形的三個頂點，且橢圓E過點M（2，
2
），O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且
OA
⊥
OB
？若存在，寫出該圓的方程，并求該切線在y軸上截距的取值范圍及|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在△ABC中，AC=2，AB=3，∠A=60°，求BC長和△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，點M的極坐標(biāo)為（4，
π
2
），圓C以M為圓心，4為半徑；又直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t+1
y=
3
2
t+
3
（t為參數(shù)）
（Ⅰ）求直線l和圓C的普通方程；
（Ⅱ）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．若相交，則求直線l被圓C截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知虛數(shù)z使得z1=
z
1+z2
和z2=
z2
1+z
都為實數(shù)，求z．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且a=2，∠B-∠C=
π
2
，△ABC面積為
3
．   
（1）求證：sinA=cos2C；
（2）求邊b的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求直線BP與平面PAC所成的角．

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同步練習(xí)冊答案