Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（4，

π

2

），圓C以M為圓心，4為半徑；又直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t+1 y= 3 2 t+ 3

（t為參數(shù)）
（Ⅰ）求直線l和圓C的普通方程；
（Ⅱ）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．若相交，則求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）消去參數(shù)t即可得到直線l的普通方程，把點(diǎn)M的極坐標(biāo)（4，

π

2

），化為直角坐標(biāo)，即可得出⊙M的直角坐標(biāo)方程；
（II）先求出圓心M到直線l的距離，與半徑半徑即可得出⊙M與直線l相交，再利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t+1 y= 3 2 t+ 3

（t為參數(shù)），
由x=

1

2

t+1可得t=2x-2，代入y=

3

2

t+

3

消去t可得：

3

x-y=0．
∴直線l的方程為：

3

x-y=0．
由M的極坐標(biāo)（4，

π

2

），可得x=4cos

π

2

=0，y=4sin

π

2

=4．即圓心M（0，4）．
∴⊙M的直角坐標(biāo)方程為：x²+（y-4）²=16．
（Ⅱ）∵圓心M的直角坐標(biāo)是（0，4），圓心M到直線l的距離d=

|0-4|

2

=2＜4，
∴直線l和圓C相交．
直線l被圓C截得弦長(zhǎng)=2

42-22

=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為普通方程、直線與圓相交的位置關(guān)系判定方法、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．