Question

在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且a=2，∠B-∠C=

π

2

，△ABC面積為

3

．   
（1）求證：sinA=cos2C；
（2）求邊b的長．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由已知等式表示出B，再利用內(nèi)角和定理表示出B，消去B得到A與C的關(guān)系式，利用誘導公式化簡即可得證；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將已知面積及a的值代入得到關(guān)系式，再利用正弦定理表示出b，已知等式變形并利用誘導公式化簡得到sinB=cosC，將得到的關(guān)系式代入bsinC=

3

中，化簡求出tan2C的值，確定出C的度數(shù)，即可求出b的值．

解答： 解：（1）∵B-C=

π

2

，
∴B=C+

π

2

，
∵B=π-A-C，
∴A=

π

2

-2C，
則sinA=sin（

π

2

-2C）=cos2C；
（2）∵S=

1

2

absinC=

3

，a=2，
∴bsinC=

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得到b=

asinB

sinA

，
∵B=C+

π

2

，∴sinB=cosC，
∴b=

2cosC

sinA

，
將sinA=cos2C，b=

2cosC

sinA

代入bsinC=

3

得：

2sinCcosC

cos2C

=

3

，
整理得：

sin2C

cos2C

=tan2C=

3

，
∴2C=

π

3

，即C=

π

6

，
則b=

3

sinC

=2

3

．

點評：此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，誘導公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．