Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，平面PAC垂直于底面ABCD，線段PD的中點(diǎn)為F．
（1）求證：EF∥平面PBC；
（2）求證：BD⊥PC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)E，F(xiàn)為PD，DB的中點(diǎn)判斷出EF為△PBD的中位線可知EF∥PB，進(jìn)而根據(jù)EF?平面PBC，推斷出EF平行于PB所在的平面PBC．
（2）先判斷出BD⊥平面PAC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷出BD⊥PC．

解答： （1）證明：∵菱形對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，
∴AC與BD互相平分，即AE=CE，BE=DE
又∵線段PD的中點(diǎn)為F，
∴EF為△PBD的中位線，
∴EF∥PB
又EF?平面PBC，PB?平面PBC，
∴EF∥平面PBC
（2）證明：∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
菱形ABCD中，AC⊥BD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)等知識(shí)．對(duì)線面平行的性質(zhì)和判定定理即線面垂直性質(zhì)和判定定理熟記于心，并能靈活運(yùn)用．